Galileo’s paradox of the infinite
Tsja, een paradox is niet voor niks een paradox. Het is misschien wel een lullige, maar toch. Oneindig of niet oneindig, that’s the question.
Ken je Galileo Galilei nog? Een bekende Italiaanse natuurkundige, astronoom, wiskundige en filosoof. Aardige combinatie he! In zijn laatste wetenschappelijk werk (Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze – vrij vertaald iets van ‘Wiskundige verhandelingen en demonstraties, ongeveer twee nieuwe wetenschappen’ – met dank aan Google Translate) deed hij een ogenschijnlijke tegenstrijdige uitspraak over positieve, gehele getallen. Namelijk: sommige getallen zijn kwadraten (1, 2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …). En sommige getallen zijn geen kwadraten (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10). Verrassend he. Nou, dit is het nog niet. Het klinkt en lijkt logisch dat er meer getallen zijn die geen kwadraat zijn. Dat zou je toch zeggen. Echter, toch is er voor elk kwadraat exact één positief getal dat zijn vierkantswortel is en voor elk getal is er exact één kwadraat. Je voelt hem al aankomen: er kunnen in dit gedachte-experiment dus niet meer of minder kwadraten zijn dan niet-kwadraten. Uitgaande van een situatie van een oneindigheid aan cijfers. En als je daar dan weer over nadenkt: oneindig is zonder einde en als het zonder einde is dan zou je toch weer verwachten dat er van de ene meer is dan van de ander. Maar dat is nu net níet zo bij oneindigheid. Galileo besloot daarom dat de begrippen minder dan, gelijk aan en groter dan van toepassing zijn op eindige verzamelingen, maar niet op oneindelijke verzamelingen. Dat lijkt (me) de enige logische conclusie in deze. Well done, Galileo Galilei.
